קיץ 2022 מועד א – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2022 מועד א – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

3סעיף א (2) – דוגמה ל־p

📄 נוסח השאלה

(1) בעבור כל n טבעי, הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי הביטוי 4ⁿ − 1 מתחלק ב־3 ללא שארית.

(2) נתון: p הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של p שבעבורו הביטוי 4^{n + 1} + p מתחלק ב־12 ללא שארית, לכל n טבעי.

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

4¹ − 1 = 3 = 3 · 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

4^k − 1 = 3m

כאשר m שלם. מכאן:

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

כאשר m שלם. מכאן:

4^k = 3m + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי 4^{k + 1} − 1 מתחלק ב־3.

4^{k + 1} − 1 = 4 · 4^k − 1

📐 חוקי חזקות

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 4(3m + 1) − 1

📐 חוקי חזקות

a^{k + 1} = a · a^k

📐 הנחת האינדוקציה

4^k = 3m + 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

= 4(3m + 1) − 1

= 12m + 4 − 1 = 12m + 3

= 3(4m + 1) ✓

4m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־3.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף א (2) – דוגמה ל־p

נכתוב את הביטוי כך שיופיע 4ⁿ − 1 מסעיף (1):

4^{n + 1} + p = 4 · 4ⁿ + p

= 4(4ⁿ − 1) + 4 + p

לפי סעיף (1), 4ⁿ − 1 = 3m:

📐 סעיף (1)

= 4 · 3m + 4 + p = 12m + (4 + p)

📐 סעיף (1)

4ⁿ − 1 = 3m

סעיף א (2) – דוגמה ל־p · המשך

= 4 · 3m + 4 + p = 12m + (4 + p)

12m מתחלק ב־12. לכן מספיק ש־4 + p יתחלק ב־12. למשל 4 + p = 12:

p = 8

בדיקה: n = 1: 4² + 8 = 24 = 12 · 2 ✓.

✅ פתרון סופי: למשל p = 8

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא